[Pulsatile flow] on a rigid tube _ 1. Velocity

[Prerequisite]
1.Fluid dynamics
(continutiy and momentum eq on a rigid tube)
2. Bessel Function
(First, and Second order Bessel function)
Blood 를
Fluid 관점에서 해석할 때,
크게 2가지 특징이 존재한다.
1. Non-Newtonian characteristic
2. 심장의 주기적인 박동 flow
- Pulsatile Flow.
first 특성은, 블로그의
https://jeffdissel.tistory.com/85
Blood Viscosity
blood 는 다음 4가지로 구성 되어 있다. Components of Blood-Red blood cells-White blood cells-Platelets-Extracellular fluid(Plasma) 여기서, viscosity을 결정하는 요소는 바로Red blood cells들의 함유량으로 결정된다.He
jeffdissel.tistory.com
blood viscosity 부분에서 다루었고,
지금부터 두번째
Pulsatile Flow 에 대해서 알아보자.

1cycle동안 대동맥 압력 변화그래프.
참고할 책은

그중에 ch3,4,5를 다룰 것이고
Ch5 Steady Flow in a tube
Ch4 Pulsatile Flow in a Rigid Tube
Ch5 Pulsatile Flow in an Elastic Tube
를 먼저 다루어 보자.

지금부터, rigid tube에서 유체가 흐르는 경우를 살펴보겠다.
Fluid mechanics시간에 증명하였던,
Naviers Stokes Eq
Continuity Eq.
(x,y,z) -> (r,
θ
,z) cylindrical coordinate.
로 전환시켜준다.

먼저 Continuity Eq




여기에 밀도 변화거 없는 incompressible flow 가정을 더해주자.

자 여기까지, 원통형 incompressible flow continuity Eq이다.
여기서 두가지 가정을 추가로,
Naviers Stokes eq도
간단하게 해주자.

여기서, 1번 연속방정식을 정리후,
적분해주고,
No-slip boundary condition
on the wall을 적용해주자.(벽에서 속도 = 0)
그렇다면, C = 0, V = 0 이 도출 된다.
즉, Radius direction 속도 = 0

이후 다시, 2번째 u component
NS 방정식에 V = 0 을 대입해주면,

최종적으로, 다음의 식이 도출 된다.
이 식이 바로 우리가 분석할 맨 처음 기본 식이다.

(4번식)
종합해보면,
밑의 5가지 가정을 첨가하여, Naviers Stokes Eq
을 정리하였다.

이제, 위
식의 해
를 구할 것이다.
그 전에.
pulsatile flow의 핵심적인 특성을 잘 살린,
이 책의 표지를 다시 살펴보자.

위 사진을 살펴보면,
위 flow 같은 경우 Steady flow,
밑의 case가 pulastile flow인 경우이다.
보자마자 느껴지는 특징은 바로,
앞으로 flow가 나아감
과 동시에,
flow 자체에 주기적인 진동이 존재
한다는 것이다.
즉,
Steady term
Oscillatory term
이렇게 두가지가 존재한다.
따라서, 압력과 속도를 두가지 term으로 분리하여 생각해보자.
(난류에서, average + flucuate term 나누는 것과 동일)

Steady flow의 경우 위 식을 보면 알겠지만,
시간 term이 변수로 존재하지 않는다.
즉 시간에 따라서 일정(Steady flow의 정의)
4번 식에 대입해주면,
(5번식이 당연히 성립하기 때문에 6번식도 성립하게 된다)

우리는 이제 진동 부분을 유심히 살펴볼 것이다.
이후에, Pressure Gradient 값을 다음과 같이 k를 통해 정의해주고,
똑같이 Steady, Oscillatory term을 나누어 주자.


새로운 정의 kpi 를 6에 대입하면,

자 이제, 압력 gradient 부분을 살펴보자.
압력은 위 밑의 형태가 주기적으로 반복된다.

주기적인 반복하면 바로 떠오르는 것이
Fourier Series
어떠한 주기의 함수든지,
수많은 (기본주파수에 비례하는)cos, sin함수의 조합으로
나타낼 수 있다는 것.
압력 강하를 복소수 급수 형태로 나타내면, 다음과 같다.
(공학수학시간에 다룸/ fourier series)

하지만, 책에서는 ks를 기준으로 n=1인 부분 즉,
기본주파수일 때만을 고려하였다.
100% 정확히 이해는 하지 못하였지만.
(왜 n차 주파수들은 모두 무시했는지)
"기본주파수를 가지고도
정확하고, 충분히 현상을 나타낼 수 있다"
라고 저는 이해했습니다.
(혹시 완벽히 이해하신 분은 댓글로 남겨주세요...)
결론적으로, Pressure gradient를
다음과 같이 fourier analysis를 통해서 나타내었다.

계속 해를 구하고 있던, 7번 방정식에 대입해주고
Separation varaible로 시간과 r term을 나누어 주고 다시 대입.

여기서,
[Womersley Number 무차원수]

Ω
:
웸슬리 수
(Womersley number)
a
: 특성 길이 (보통 관의 반지름)
ω
: 각진동수 (주기적인 흐름에서의 각속도)
ρ
: 유체의 밀도
μ
: 유체의 동점성 계수 (dynamic viscosity)
를 이용해주자.
Womersley number는
유체가 얼마나 진동하여 움직이는 지를
나타내 준다.
9번식에서 양변을 점성으로 나누어주고 -> 10번
웸슬리 . 수를 대입하여 준다.

여기서 11번 식은 Non-homogeneous ODE이다.
공학수학 시간에 다루었지만,
Non-homogeneous ODE같은 경우,

(12번의 해) homogeneous ODE의 해를 먼저 구한 후,
추후에 특수해를 더해준다.(여기서는 추가 상수, C3)
자 homogeneous ODE 해를 구하기 위해서,
추가로 치환을 진행해주자.
(사실 치환해주는 이유는 우리가 이미 해를 아는 방정식인
Bessel function으로 나타내기 위함이다.)

치환한 요소들을 전부 더해주면,
밑의 식처럼 m = 0 인 베셀함수가 나오게 된다.

[블로그 베셀함수]
https://jeffdissel.tistory.com/101
Bessel's Equation_Part1
심장박동의 Pulsatile Flow 의 유동해석(주기적으로 움직이는 심박에 의한)(혈액 속도장 계산) 과정속에서, 뜬금없이 Bessel function이 등장해버렸다. 이 친구는 학부시절,열전달 (전도) 시간에
jeffdissel.tistory.com
를 살펴보면, 베셀함수에서 m= 정수일때는,
제1종, 2종 베셀함수가 일반해를 구성함을 알 수 있다.

이후, 추가 상수 term을 추가해서,
원래식 11에 대입해주면, 쉽게 상수항이 도출된다.

따라서, 최종적으로 진동속도장 해는 위와 같다.
이제 ODE해 구하면, 다음으로
Boundary condition을 활용하여
계수들을 구해보자.
1. r=0 중심에서 베셀 2차 함수는 - 무한으로 발산한다
2. r=a 에서 속도 = 0 - no slip B.C


최종적으로 정리해보면,
다음과 같이 도출된다.