연속체 역학은 크게 3가지 부류로 나뉜다.
1. The study of motion and deformation
(Kinematics)
2. The study of stress in Continuum
(Stress)
3. Fundamental laws of physics
(governing the motion of a continuum)
먼저 우리는 motion, deformation 즉
어떤 물체의 움직임에 대해서만 관찰해보자.
(Kinematics)

Figure of continuum Mechanics
그 전에 우리가 배우는
연속체
란 무엇인지에 대해서 이야기해보자.
Motivation:
기본적으로 공학에서
우리는
어떤 물질, material의
움직임 +
작용하는 힘 을 관찰하여 (혹은 계산하여 )
물질 내부의 성질(온도,압력,속력 등등)
을 분석하고자 한다.
예를들어 (H20, 물)을 분석한다고 가정하자.
여기서,
물
분자
들이 어떻게 상호작용 하는지 분석하는
Microscopic anaylsis
(미세단위) 방식이 있고,
이와 반대로,
모든 물분자들의 내부 상호작용을
무시하고
,
물 전체를 하나의 시스템
(Continuous Medium, 연속체)라고 정의하는
Continous Analysis 가 존재한다.
즉, 후자의 방식으로 물질의 property들을 유도하는 것이.
연속체 역학
이다.
여기서 핵심은 연속체 내부(물질 내부)의 성질들은
시공간에 대해서 연속적으로 변화한다는 것.
먼저 연속체의 property의
공간적 변화
를
우리는 define하기 위해서,
(밑의 그림처럼)
reference point(원점)을 O라고 정의
하고,
기준점 O, 3개의 기저 e1,e2,e3 를 가지는
기준좌표계
를 정의한다.

Reference Coordinate
즉, 이렇게 우리는 공간좌표를 정의하면
공간에 따른 물질의 성분을 분석
할 수 있게 된다.
하지만 아까 위에서 언급했다 싶이, 물질의 성분은
공간에 따라 변하면서
시간에 따라서도
변한다.
이를 해결하기 위해 정의하는 Location vector.
1. Location Vector(X and x)

벡터 X: t = 0 일때, 분석하고 싶은 물질의 내부의 점과 원점을 잇는 벡터.
벡터 x: t = t_a 일때, 분석하고 싶은 물질의 내부의 점과 원점을 잇는 벡터.
여기서 생각을 해보자, 우리가 분석하고 싶은 것은 정확히
물질내부의 같은 점이 t_a시간이 흐르고(시간변화에 따라)
어떻게 위치가 바뀌었는지(공간변화)
를 알고 싶어한다.
따라서, 벡터x와 X의 정의에서 언급한,
'물질 내부의 점'
을 같은 점이라고 생각하고
다시 정의해보자.(물질내부의 점 = 점 P라고 하자).
벡터 X: t = 0 일때, 점P와 원점을 잇는 벡터.
벡터 x: t = t_a 일때, 점P와 원점을 잇는 벡터.
즉,
시간에 따라서 같은 점의 위치가 바뀐다.
(벡터 X -> x)
우리는 이것을 '
물질이 변형되었다'
Deformed Mateiral
이라고 말할 수 있다.
(지금 앉아계신 의자의 다리가 부서지는 상상속에서,
현재 책상에 있는 컴퓨터의 키보드 문자 'O'를
Reference point라고 가정하자.
이때, 점 O를 기준으로
의자 다리내부의 점들의 좌표가 시간에 따라 바뀐다.)
-> '의자가 변형된다'
다시 말하면, 위치벡터의 경우
변형전 - X
변형후 - x
재밌는 사실은, 같은 점P이기 때문에,
변형후 백터 x 는 변형전 백터 X와 시간 t의 함수로 표현 할 수 있다.
(why?)
정보1. 같은 점 P의 (t = 0 )일때의 공간좌표 => 벡터 X
정보2. 흐른시간 => t
이 두가지 정보를 가지고 우리는
t가 흘렀을때 점P의 공간정보를 표현할 수 있기 때문이다.
(다시 말하지만, 같은 점P이기 때문에)
(수학적 표현)
x = x( X ,t)

이렇게 시간이 흐른뒤 위치(vector x)를 초기위치벡터 X로
표현이 가능하기 때문에,
시간이 흐른후의
물질의 다른 성분(온도,압력,속도...)
들을 표현하는
두가지 방식
이 존재한다.
1. Lagrangian Description

이 방식은, x = x(X,t) 처럼,
나중위치 물질 Property(온도,압력,속도...)를
처음위치벡터(X)를 기준
으로 정의한다.
자 여기서 말이 조금 뭔가 간단하지만,
굉장히 심오한 뜻이 섞여 있다.
처음위치 벡터 X는,
물질에 있던 particle의 t=0에서의 위치벡터이다.
(학번이 부여된 대학교 1학년을 생각해보자,
학번 = 점P의 초기위치벡터(X)
시간이 흐른후, 대학교 4학년때
나의 위치 -> vector x
나의 성적, 헤어스타일 등등... -> properties
들 모두 나의 학번과 시간으로 정의할 수 있다)
즉 이러한 관점을 Particle Analysis라고 할 수 있다.
물질 내부의 입자(Particle)을 정의하고 그것을
추적하는 방식이 바로
Lagrangian Descrpition인 것.
2. Eularian Description

처음 위치를 기준으로 알 수 없는 경우,
(시간이 흐른후 or 변형후) 물질의 성분들을
나중위치 좌표(vector x)기준으로
나타낸다.
예를들어,
끓는물의 온도를 시간에 따라서 온도계로 재는 실험
의 경우,
우리가 측정하고자 하는 온도 T = T(x,t)
시간이 흐르고 나서인, 나중 frame에서의 값들이다.
따라서, x1,x2,x3가 현재 좌표라는 것.
(초기에서 시간이 흐른 좌표 = 현재 좌표)
이러한 분석방식을
fixed frame(Current frame)에서의 해석을 하는것이
Eularian Description이다.
(유체역학의 경우 입자를 계속 추적해서,
이전 t = 0에서의 위치로 이후 모든 값들을 해석하기는 힘들기 때문에
현재 spatial coordiante(x1,x2,x3)로 해석하는 Eularian Description을 사용한다)

Reynolds Transport Theorem

은
Lagrangian Description에서 Eularian Description로
혹은 그 반대로 바꾸는 방법을 통해서,
여러 governing equations들을 유도한다.
2. Displacement Vector(X and x)

다음 개념은 굉장히 간단하다.
변위벡터이다. 즉, U = x-X
변위의 정의자체가,
나중위치 - 처음위치이므로 정의대로 그대로
작성한것이 U
자 위의 간단한 위치 정의들을 가지고 우리는
Body의 motion의 종류를 나눌 기준이 세워진다.

변위벡터가 시간에 따라서만 변하는 함수라면,
즉, 모든 particle들은 다 같이 움직이는 것을 알수 있다.
(
material 내부에서 입자들 사이의 거리 모두 일정)
-> rigid body translation

만약에 x,X가 위의 관계라면, x = b위치를 기준으로 회전하는 motion임을 가늠할 수 있다.

따라서, (a), (b)를 합치게 되면
General rigid body motion이 유도되는것.

3. Infinitesimal Deformation

이제 한단계 더 나아가서,
물질 안에서의 아주 작은 길이(dX)가
변형후에는 어떻게 변하는지 살펴보자(dx)
x = X + u(X,t)
u(X+dX,t) = (x + dx) - (X + dX) = u(X,t) + dx - dX
dx = dX + u(X+dX,t) - u(X,t)
dx = dX + grad( u(X,t) ) dX
여기서 2nd order tensor Gradient Displacemen tensor가
정의된다.

가장 기본적이고 간단한 개념들에 대해서 정의하였고,(위치벡터, 변위벡터)
(정말 중요한 개념들임)
이 개념들을 이용하여 다음 part에서 다른 심화개념들을 유도해보자.