[Engineering Mathematics] Ch 6. Laplace Transform - Unit step function, Dirac's delta function

[Engineering Mathematics] Ch 6. Laplace Transform - Unit step function, Dirac's delta function
우리는 새로운 개념, Laplace Transform 에 대해서,
그리고 성질에 대해서 배워 보았다.
최종목표는 어려운 ODE를 푸는 것이다.
그러기 위해서 재료들을 배우는 과정
근데 문제는 재료가 더있다. 바로
Unit Step function
사실 이해하면 정말 쉬운 함수이다.


그래프를 보면, 바로 이해가 갈 것이다. 그니까 u(t-a)에서 a보다 클때는 1 작을때는 0 이란 말.
u(t-a)의 라플라스는 정의대로 다음과 같다.




그리고 이 정의를 이용해서, Laplace에 shifting Theorem 을 정의할 수 있다.

실제 (t-a)u(t-a)를 정의대로 Laplace transform해주면, 해답이 나옴을 확인 할 수 있다. 간단한 적분.
한가지 더 살펴보자.
Short Impulses: Dirac's Detla function
시작은 Impulse 에서
시작한다.
충격량은 운동량의 변화량, 야구방망이로 공을 칠때,
짧은 시간동안 공과 방망이가 접촉하고, 힘과 그 짧은 시간의 곱을 충격량이라 정의한다(Impulse)
그리고 이 충격량은 야구공의 운동량의 변화량과같다.
고등 물리시간에 다들 배웠던 기억이 있을 것이다.
이제 이 충격량은 시간에 따른 함수로 표현해주자.
밑의 함수를 Dirac's delta function이라고 정의한다
. (x축은 시간, y축은 힘)

그리고 충격량은 면적이기 때문에, 다음과 같이 정의할 수 있다. (충격량 = 1 인 경우)

만약에, 시간에 정말 정말 작다면????
면적은 일정하므로 높이는 무한에 가까워 질 것이다.
이때 높이를, Dirac Delta function이라고 정의힌다.

그리고 위에서 정의한 대로, 수식으로 쓰면 다음과 같이 표현 할 수 있다.

어딘가 쓸려고 이렇게 정의했겠죠???어디에 쓸까
한번 t에 대해서 연속적인 함수 g(t)가 있다고 가정해보자.
g(t)에 위에서 정의한 a에서만 면적이 1인 함수를 곱해주면???
적분 값은 g(a)일 것이다.

지금까지 배운 δ 의 Laplace transform을 구해보자.
먼저,
δ의 정의에 필요한, fk(t-a) Laplace를 구하고, k를 0으로 보내주자.


이제, k를 0으로 보내주면 좌항은
δ의 Laplace transform 임을 알 수 있다.
우항의 오른쪽 k에 관한 식은 로비탈의 정리에 의해서
(분모,분자 미분후 k = 0대입)
k ->0 일때 1로 수렴함을 알 수 있다.
따라서,

문제 풀이로 감을 잡아보자.