[Fluid mechanics] Reynolds Stress

난류를 유체역학, 수학자들은 어떻게 표현했을까??
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[Fluid mechanics] Ch 6. Law of the wall.
난류 Turbulence는 Randomness그 자체이다. 시간에 따라서 진폭이 일정하지 않는 그냥 랜덤한 파동의 형태를 띈다. 이를 분석하기 위해서, 과학자들은 시간평균의 개념을 가져온다. 그리고 Time mean veloc
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Law of the wall 포스터에서 속도를 평균 + fluctation 으로 나눈후
평균을 구하고 나비아스 스톡스 방정식에 대입해주었다.
u = Average(u) + u'
그리고, 넣어준 결과 Reynolds stress( Turbulence stress) 가 식에 생성된다는 것 까지
위 포스터에서 다루었다.
그리고 과학자들은 이 term을 수학적으로 유체의 점성항과 비슷하다고 가정한후,
다음과 같이 표현 하였다.

자, 위 표현은 평판에서 u의 속도(x방향)만 있는 경우의 Reynolds stres이다.
이제 3D로 표현한 reynolds stress 를 작성해보자.

u'v' = v'u' 임을 통해서, reynolds stress를 두개의 합으로 먼저 표현해주자
(Symmetric 이고, 우리가 이전에 구한 Strain tensor로 표현 할 수 있기 때문에)
그리고, Tensor 로 표현해주면 다음과 같다.

하지만, 문제점이 발생한다.
normal Reynolds stress를 이용하여
Kinematic Turbulence energy (k)를 구해보면

다음과 같이, incompressible flow일때, k=0이라는 아주 이상한 답이 나온다;;
따라서, k=0 이 되지 않고,
k 의 정의 (u'u'+v'v'+z'z')/2 가 되도록 Reynolds stress tensor를 변형시켜주면

normal stress tensor는 다음과 같이 표현 할 수 있다.
직접, 각 x,y,z reynolds Stress를 구한후 합하여 확인해보면

k 가 정의대로 derived 됨을 알 수 있다.
따라서, 최종적으로 Strain tensor를 이용하여 Reynolds stress를 표현하면 다음과 같다.