자 이제 진짜 Gas dynamics 들어갑니다.
지금까지 유체역학에서 우리는 Density change가 거의 없는
Incompressible flow 들을 위주로 살펴 보았습니다.
그렇다면 밀도변화는 어떨때 일어날까 밀도 변화가 일어나면
그동안 유도한 식들이 어떻게 변화할까?
라는 질문을 가지고 들어가보자
먼저 기본적으로 Wave speed 에 대해서 알아야 한다.

사진 과 같이 피스톤이 오른쪽에서 압축 된다고 하자 그렇다면 공기가 압축되어
Wave의 형태로 왼쪽으로 이동할 것이다.
이때 Wave의 속도를
a
라고 하자
그렇다면 Wave 의 Back and forth 의 Property들은 전부 다를 것이다.
가장 핵심은 Wave front velocity = 0 이다.
그 이유는 아직 wave front side 의 공기는 피스톤의 압축력이 전달되지 않아, 원래 상태인 '정지상태' 이기 때문이다.
이제 Control volume 을 설정하고 Momentum, Continuity equation을 작성하기 앞서서
상대속도 개념을 이용하여 reference 를 바꾸어주자

그림과 같이 관찰자가 wave에 올라타 wave와 같은 속도 a로 움직인다고 가정하면,
이제 우리는 다음과 같이 식을 세울 수 있다.
Assumptions (Steady-state, 1-D process)
1. Continuity Equation
들어오고 나가는 Mass flow rate 는 동일하므로 다음과 같이 유도가능.

2. Momentum Equation

Continuity 식에서 dV를 Momentum 식에서 dV에 대입해보자

여기서 끝난게 아니라 한발 남았다.
우리가 방금 한 과정 Steady state, 1-D Pipe process에서 만약 Friction 이 있다면?
Heat transfer 이 있다면? Shaft work 가 있다면 dp/d
ρ 값이 일정할까???
당연히 다르다.
왜냐하면 압력 밀도 모두 변하기 때문.
결국 dp/d
ρ는 Process function 이라는 것이다. (path dependent)
따라서 우리는 Friction heat transfer을 무시하고 위식을 유도했으므로
Partial derivative 와 함께 Isentropic 과정이라는 표시를 해주어야 한다. 결론적으로

Isentropic process에서 Energy equation

Tds = 0 =dh- vdp = du + pdv를 통해서 다음과 같이 식을 유도할 수 있다.(
ch1 이전 포스트에서 증명완료
)

여기에 Ideal gas Assumption 까지 가정해주면 (p =
ρ
RT)

따라서 이상기체의 경우,

이제 파동 근원의 속도에 따라서
파동이 어떻게 전파되는지 살펴보자



위 두번째 사진부터 즉 근원의 속도가 a를 넘을때 공기가 한 파동에 압축되어 Wave를 형성 함을 할 수 있다.
그리고 a를 초과할시 Mach cone모양의 wave를 형성한다.
즉 속도가 a를 넘는지 안넘는 지에 따라서 wave의 형태가 아예 달라진다.
따라서 우리는 V/a = Ma,
새로운 Dimensionless number, Mach number(Ma or M)
로 정의하고
Ma의 변화에 따라서 유체의 성질이 어떻게 변하는지 관찰하는 것이 책의 목표이다.
Mach cone과 지면의 기울기 는 다음과 같다.

[중요한 점은 위 각도 u보다 작은 Wave는 형성되지 않는 다는 것이다!!! 추후에 중요한 정보임]
이제 다음 포스터에서는 정의한 Ma 를 가지고 다른 유체의 property 들을 정의해봅시다.