여기서, 한가지 의문점이 든다.
vorticity, w = curl(v)
라는 것을 우리는 알고 있고,
만약에 vorticity 를 토대로
Velociy(속도) 장을 구할 수 있을까??
해답인
Vorticity 와 Velocity
관계식을 유도해보자.
interface가 존재하지 않는,
unbounded fluid라고 가정해보자.
laplace u 는 벡터의 성질로 다음과 같이 분리 할 수 있다.
여기서 incompressible 가정을 해주면,
연속방정식으로 인해서,
따라서,
curl(v) = w임을 이용하여 다음과 같이 표현이 가능하다.
핵심은
이 방정식에서 w를 알고 있을때
u를 유도하는게 우리의 목적이다.
위 함수의 general form은
위 general 미분방정식의 해를 구하기 위해서
2가지 개념
이 필요하다.
1. Dirac Delta function: δ
Graph of Delta Function.
다음 중요 개념을 설명할때,
필요하기 때문에 델타 함수를
정확히 이해해야 한다.
2. Green's function: G
이를 쉽게 풀어서 이해해보자.
어떠한 공간에 빨간색의 수많은 점들이 존재한다고 가정하고,
그 중 검정색 Source 를 집중해보자.
Source(x_s)에서 발산하는
something
이 있다고 했을때
그로부터, 수많은 주변 점들에게
어떠한 영향
을 줄 것이다.
(something이 무엇인가는
풀려고하는 방정식의 u(x), f(x)에
따라서 Physical meaning이 달라진다.)
그 something이 주변에 어느 정도의 영향을 주는지가 바로
G(x,s) Green's function
이다.
정의를 살펴보면,
영향을 주는 정도에 어떠한 미분연산자(L)을
씌워주면, 다음과 같이 x = s(source)에서만 존재하는
델타 함수의 형태로 나오게 된다.
처음에, 저렇게 정의한 어떤 물리적의미에 대해서 계속해서
의문을 가졌었다.
As far as I understood,
왜 (저렇게 영향을 주는 정도,G)에 L을 씌우면 delta function이 되는지에
물리적 의미보다는
우리가 풀고 싶은 미분 방정식
을 풀기위해서, (도구로써) G를 저렇게 정의했다고
저는 이해하였습니다.
여기서 우리는
미분 연산자 L = laplace
일때를 살펴보자.
즉, 우리가 풀방정식은
이를 풀기 위해서,
다음과 같이 정의된 Green's function, dirac delta function
을 사용할 것이다.
결론부터 말씀 들이면,
해는 다음과 같이 표현된다.
G(x,x'): x'(source 좌표)에서 x에 주는 영향의 정도,
f(x'): Source 좌표 함수
즉, 물리적으로 해석해보면,
수많은 source들이 함수(F(x'))에 존재하고,
각각 소스
들이
특정점 x
에 영향을 줄것이다.
그 영향의 합을 integral 로 표현한 것.
자 이제 위 해를 증명해보자.
양변을 Laplace연산자를 씌워주자.
여기서 Laplace 연산자는 x에 대한 연산자 이므로,
다음과 같이, G(x,x')에 만 적용된다.
green's function의 정의에 따라 delta function으로 바꾸어 주자.
여기서 핵심은 delta 함수에서 source 가 x 좌표 라는 것이다.
(x'은 여기서 적분 연산자 이다 햇갈리기 쉽지만..)
따라서, delta function는
x' = x 일때만 해가 존재하고, 이때만
delta(x,x')f(x')이 존재하게 된다.
따라서 적분을 하게 되면, 1이 아닌,
source에서의 함수 값인
f(x)가 나오게 된다.
(x가 source입니다)
이로써,
우리가 풀고 싶었던 라플라스 미분방정식의
해임을 증명하였다.
여기서,
Green's function을 살펴보면,
source point - x' 이고,
x가 다음과 같은 sphere coordinate에서
움직인다고 상상해보자.
그랬을때, 우리는 구의 반지름을 abs(x-x')로 정의할 수 있다.
G의 정의에 따라 다음과 같이 dirac delta function으로 나타낼 수 있으며,
핵심은 바로, sphereical coordinate 에서
Radius 이외에는 independent 하다는 것이다.
(source로 부터 영향을 받는 정도를 나타내는 G는
Source와의 거리로만 dependent)
위 미분 방정식의 G 해를 구하기 위해서,
delta function = 0 일때랑 아닐때로 나누어 보자.
먼저, delat Function = 0 일때,
(A,B 는 상수)
G 함수 특성상, source와의 거리가 무한이 되면,
source로부터 영향을 받지 않으므로, G = 0 -> B = 0
여기서, A 상수값을 구하기 위해서
delta function이
0 이 아닐때를 분석해보자.
분석방법은
r =0 근처에 아주 작은 구를 다음과 같이 정의한다.
델타 함수 성질에 따라서,
r = 0 바로 근처 공간의 적분 = 1 인 이유는
원래 정의는 -infinity ~ +infinity 모든 영역의 적분 = 1 이지만,
사실상 정의에 따라서 r = 0 이외의 공간,
즉, 작은 구 밖의 공간에서는 함수값이 0 이므로 적분 값이 의미가 없어진다..
따라서, laplace G 체적분 = 1이고,
Divergence Theorem으로 면적분으로 전환가능하다.
이후, G= G(r) 이므로 r dependent only,
+ solid angle 개념을 사용하여 A를 유도할 수 있다.
지금까지 했던, 과정들을 간단하게 요약해보면,
길어진 관계로
다음장에서 이어서 쓰도록 하겠습니다~