지금까지 part1,2에서 구한
Vorticity Equation
은
정지관성좌표계에서 유도한 방정식이다.
즉, 밑의 그림을 보면
점 O
에서 1,2,3을 축으로
fixed 되어있는 좌표계가 바로 [
정지관성좌표계]
이다.
그리고, 그 옆에 움직이고 회전하는 O'이 바로
[비관성좌표계]

따라서, 지금까지 우리가 구한 Vorticity Eq은 O를 기준으로 유도되었고,
이제 우리는 움직이고 있는 O'을 기준으로 vorticity Eq를 표현해볼 예정.
(힌트: O'도 결국 O의 좌표계안에서 움직고 있다.)
지금부터,
O 기준시각 -> 정지관성좌표계
O'기준시각 -> 비관성좌표계
로 언급할것이다. 꼭꼭 햇갈리지 말자.
먼저 속도부터 정의하자.
비관성좌표계
안에서 움직이고 있는 물체를 상상해보자.
그 물체의 속도를
!!!관성좌표계!!!
에서 측정한 값을
u라고 하자.
u는 다음과 같이표현된다.(백터의 분해사용)

U: 관성좌표계에서 측정한 비관성좌표계 자체의 속도.
e1',e2',e3': 관성좌표계에서 측정한
비관성좌표계의 기저벡터
괄호안을 전개해주면 다음과 같고,

u': 비관성좌표계에서 바라본 물체의 속도
여기서 3번째항(A)를 구해보자.

이해를 위해, 비관성좌표계안에서 생각해보자.
호의길이를 이용해서 우리는 위의
de1'과 각속도의 식을 유도가능하다.
방향을 제외하고, 크기만 구해보면

각속도와 e1'의 외적 크기 = de1'/dt의 크기
임을 알 수 있다.
이제 방향을 살펴보자.
de1' 의 방향과 de1'/dt의 방향은 같고,
de1'의 뱡항은 각속도, e1'과 모두 수직이다.
따라서, 크기도 같고 방향도 같으므로

기저들의 시간 미분 항을 각속도와 기저의 외적으로 바꿔주면
A를 아래와 같이 구 할 수 있다.

따라서, 우리는 u를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

각 항을 시간으로 미분하면 가속도를 구할 수 있다.

햇갈리면 안되는 것이,
a: 관성좌표계에서 바라본 물체의 가속도
a': 비관성좌표계에서 바라본 물체의 가속도

초록색항이 왜 저렇게 바뀌는 지는 아까전에 구했던 A를 이용하면,

다음과 같이 증명가능하다.

다시 본론으로 돌아와서, 가속도 term과
각각의 physical meaning은 다음과 같다.

편의상 뒷 항들을 B로 전환하자.

그리고, 비관성좌표계 안에서의
Incompressible flow, Navier's Stokes Eq으로 유체에 가해지는
모멘텀 방정식은 다음과 같다.

핵심적인 부분이 우항의 Body force 부분이
관성좌표계와 비관성좌표계의 가속도차이인 B가 적용되었다는 점이다.
여기서 아까 Coriolis 가속도로 인한 힘을
코리올리 힘이라고 한다.
이 힘이 적용된 사례가 바로 태풍이다.
태풍은 저기압인 곳으로 공기가 이동하는데,

Ω: 지구의 각속도
u1: 바람의 초기속도
u2: 바람의 나중속도
우리가 구한 식에 의하면,
- ΩX u1 방향이 바로 코리올리 힘의 방향으로 코리올리 힘을 받기 때문에,
u1이 오른쪽으로 휘어 u2가 됨을 알 수 있다.
따라서, 북반구에서 태풍은 반시계방향으로 회전하게 된다.