이번 시간에는,
Vorticity Equation
을 유도해보자.
incompressible flow가정으로 Navier's Stokes Equation부터 시작하자.
1번식에 vector 분해와, 중력가속도를 백터로 바꿔준후, 1식에 대입해주자.
이후, 바로 gradient와 1번식을 외적해주자.(vorticity를 만들기 위해서)
가장 기본적으로
Gradient(scalar)를 다시 gradient와 외적해주면 zero가 나온다.(직접 전개하면 0)
압력, 밀도항을 전개해주고, lapace항도 위처럼 바꾸어 주면 밑의 3번식이 도출된다.
여기서, 마지막으로 백터 identity를 통해서 분해해주면,
Incompressible or Barotropic Flow(밀도와 압력 gradient 평행)
의 경우,
밀도, 압력 그레디언트 외적 = 0
따라서,
최종적으로
Vorticity Eq
은 다음과 같다.
여기서 좌항 = Dw/Dt
[total time derivative of vorticty]
위 방정식의 physical meaning을 해석해보자.
시간에 따른 Vorticty의 변화량 =
(우) 1항 + 2항
1항: Rate of Change of vorticity
by stretching + tiliting of Vortex line
2항: Diffusion of vorticty
[1항]
먼저 1항의 의미를 이해하기 위해서
Inviscid 가정
을 통해서 2항을 소거해주자.
핵심은 'vortrex line'
의 Stretching + Tilting이다.
이해를 위해 vorticity Eq을 방향별로 전개해주자.
inviscid Vorticity Eq.
여기서,
먼저
Stretching
에 대해서 살펴보자.
vorticity 가 z방향만 존재하는 상황에서
z방향의 식은 다음과 같을 것이다.
위식이 의미하는 것은.
Z방향의 속도 gradient가 존재하다면,
시간에따라서, z방향의 vorticity가 변한다는 것
위는 fluid element의 예시이고,
Vortex tube로 확인해보면 바로 이해가 갈 것이다.
위 예시처럼
z방향으로 속도 gradient가 존재
한다면,
z방향으로 element들이 모두 늘어나는 것은 자명하다,
따라서 tube도 늘어나게 된다.
여기서 핵심은,
Tube 단면의
Circulation은 시간에 따라서 변하지 않는다.
(inviscid, conservative Body force, Barotropic Flow 가정)
(Kelvin's Theorem)
(혹시 저게 뭐지? 라는 의문이 드시면 아래 링크에 자세하게 설명되어 있습니다~)
https://jeffdissel.tistory.com/112
Ch3 Vorticity dynamics_part2_Kelvin's circulation Theorem
지난 시간에circulation, vorticity의 개념에 대해서 배웠다. Closed loop 곡선 C에서 x에서 속도를 u라하자,x+dx 에서 속도는 u+du 일 것이다. 위 상황에서,1. Inviscid flow2. Barotrpoic flow3. Conservative Body force
jeffdissel.tistory.com
시간에따라 Circulation은 일정,
속도의 gradient -> Vorticity(w) 증가
인 상황이라면
Circulation의 정의에 의해서,
면적이 감소
해야함을 알 수 있다.
Definiton of Circulation.
따라서,
Strecthing
이라는 표현은 정확히
속도gradient >0 인 상황에서 fluid element 가 쭉 늘어남과 동시에,
Vortex tube 의 단면이 줄어들어서
아래 가래떡을 늘인 것같은 Stretching 효과가 나타난다.
만약에 속도 Gradient<0 이라면,
반대로 길이가 줄어들 것이고, 면적은 늘어나겠죠??
결론적으로,
Z방향의 속도 Gradient
-> z방향 Vorticity를 변화
-> 면적의 감소
-> Vortex Line(tube) Stretching
이제, Tilting 의 의미를 이해해보자.
전개한 Vorticity Equation에서
위와 정확히 동일한 예시(wz만 존재, wx=wy=0)에서
이제 x,y 방향 component를 살펴보자.
For simplicity,
위 두 식 중 첫번째,
x방향
식만 살펴보자.
밑의 그림처럼 du_x/dz >0, wz>0 , wx = 0 인 vortex tube가 존재한다면,
속도차이로 인해서 tube는 (오른쪽으로) 기울어지게 될 것이고,
그로 인해서 w_x >0 으로 바뀌게 된다.
결론적으로,
u_x 의 z방향으로의 gradient.
-> vortex line(tube)를 기울어지게 함
-> wx의 변화
정리해보면,
Vorticity Equation에서
inviscid Vorticity Eq.
(w.
∇)u 가 의미하는 것은 전개를 했을 때
velocity gradient 로 인해서
fluid element 길이변화 or 기울어짐
-> Vortex tube(line) 길이변화 or 기울어짐
-> 최종적으로 Vorticity의 변화로 이어진다.