Ch3 Vorticity dynamics_part4_Non inertial rotating frame
바로 이전 포스터에서,
우리는 비관성 좌표계에서 Navier's Stokes Eq을 유도하였다.
햇갈리기 때문에, parameter들의 정의를 다시 한번 살피고 가자.
u': 물체의 속도 (비관성좌표계에서 관찰한)
U: 비관성좌표계 자체의 속도 (관성좌표계에서 관찰한)
Ω: 비관성좌표계의 각속도 (관성좌표계에서 관찰한)
x': 물체의 위치벡터 (비관성좌표계에서 관찰한)
여기서, 우리는 일정한 속도로 회전하고 고정된 non inertial reference frame을 살펴볼 것이다.
따라서, 정리하면 식2가 도출된다.
복잡한 계산을 편하게 해주는 것이 바로 Tensor notation
(익숙해지면, 정말편하지만 어려워서 아직 익숙하지 않다..)
(아예 모르시다면, 밑의 포스터를 무조건 보고 오셔야 됩니다)
https://jeffdissel.tistory.com/105
Ch1. Kinematics
시작에 앞서서,Cartesian Tensor에 대해서익숙해지고 들어가자. 유체의 움직임에 관한 식을유도하는 과정에서가장 중요한 도구인Cartesian Tensor. 기본적으로,i,j,k 인덱스를 사용한다.규칙: 인덱스
jeffdissel.tistory.com
다시 본론으로,
비관성좌표계에서 나비아스 스톡스 방정식을 Tensor notation으로 표현해주면
Tensor notation
Levi-Cevita Tensor
를 사용하여, (eijk)
각 항들을 다음과 같이 분해하자.
그대로 대입해주고, 정리해주면 식4가 도출된다.
여기서, 각항들을 새로운 Levi-Cevita Tensor
index (nqi) 이후 d/dx_q를 취해주면, 좌변 두번째 항 = 0 이된다.
두번째항은 Scalar의 Divergence이었고, A로 표현하면 다음과 같다.
0인지 확인을 위해 직접 전개를 해보니,
Levi-Cevita Tensor의 특징으로 0이 도출된다.
가만히 보니까 어디서 많이 본 듯한 비주얼이다.
우리가 계산한 것이 바로. curl(divergence of A)
였던 것이다.
발산항의 curl은 항상 0 인 것은 자명하기 때문에
0이었던 것이다.
다시 본론으로 돌아와서,
2nd 항이 0 이었던 것을 확인했고
나머지 항들을 다시 써보자
먼저 1번 항을 전개해보자.
nqi ,ijk를 몇개 전개해보니 규칙이 발견되었다.
위 규칙을 Kronecker Delta 로 다음과 같이 표현이 가능하다.
따라서, 1번을 정리하면
두번째항은 전개하면 똑같이, Curl(divergence of scala P) = 0이므로
다음과 같이 정리가 된다.
3번째 항도 1번째 항에서 사용한 규칙으로
Kronecker Delta를 활용하여 전개하면
마지막으로 4번 항은 아주 심플하게 curl u 즉, vorticity이다.
방금 유도한 1,2,3,4 항들을 전부 대입해주면
우변 두번째 항을 좌변으로 넘겨주어 total time derivative of Vorticity (W)
로 표현해주면 다음과 같이 식이 나온다.
결론적으로 우리가 유도한 식은
Vorticity Equation인데, 회전하고있는 비관성 좌표계에서 바라본 Vorticity Eq이다.
우리가 이전에 구한 관성좌표계에서 유도한 Vorticity 방정식과 비교해보면
w -> (w+2 Ω) 임을 알 수 있고,
따라서, (w+2
Ω): Absolute vorticity in an inerital frame.
이라고 부른다.
우리가 구한 비관성좌표계의 vorticity식에서
inviscid, barotropic flow 가정으로 우변의 두항을 날려주고
각속도는 z방향만 있다고 했을때 식을 전개하면 다음과 같다.
위 식이 의미하는 것은, vorticity = 0 즉, irrotational flow이어도
비관성좌표계 자체가 회전하면, vorticity 가 변해서 rotational로
변한다는 것이다.