Ch5 Low Reynolds number flow - Stokes Flow part2
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Ch5 Low Reynolds number flow - Stokes Flow part1
ch4에서는Laminar flow,흐름이 uniform한 유체의흐름에 대해서 다루어 보았다. 이번에는Reynolds number 인 상황에서 유체의 흐름이 어떤 특징을가지는 지를 살펴보자. 'Reynolds 수가 작다'라는 말은밑
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(지난포스터 무조건 꼭 참고해주세요.)
지난시간에 Stokes flow의 특징에 대해서 설명했었고,
Navieres Stokes 방정식을 non dimensonalize 해주는 과정에서,
점성과 압력항만이 흐름에 영향을 준다는
사실을 통해서,
7,8번 식을 유도하였습니다.

이번시간에는 수학적으로,
구 주변을 흐르는 스톡스 흐름을 계산해보자.

Spherical coordinate system.

여기서,
Axisymmetric 가정
을 통해 vorticity 벡터를 구해보면,

Vorticity in spherical coordianate system
우리는 pi 방향 vorticity만 존재함을 알 수 있다.

속도를 하나의 스칼라 함수로 통일 하기 위해서,
Stream function을 사용하자.

이후, vorticity 식에
streamfunction으로 치환한 속도들을
대입해주자.

편의상 편미분 항을 D^2 로 치환해주자.

이후, 9번식을 spherical coordinate laplacian vector로 정리해주면,




이번에는 Spherical coordinate Laplacian of Scalar이다
(w: vector, w_φ: Scalar)


이제 w_φ에 아까 전에 구한,
Stream function과의 식을 대입해주자.

(매우 복잡하므로)
첫째항(빨간색)먼저 대입해주자.

(생각보다 정리가 된다)
이제 초록색(2,3번항) 대입해주자.
(생각보다 굉장히 복잡함 주의)

주황색 항
을 따로 전개해보면, 귀산같이 식의 다른 빨강 초록과 소거된다.

아주 신기하게 원래 식의 2nd term은 다음 식만 남는다.

이제 맨처음 식의 첫째항과 합쳐주자.

또, 귀신같이 우리가 치환했었던,
D^2
으로 귀결된다.

우리가 정의했던 D^2
우리가 지금 막 정리해서 구한것은,

Stokes flow 모멘텀 보존식
모멘텀 보존식에서 stream function식을 유도하였다.

여기서 12번 식을 풀기위해서는 Stream function가
어떤 함수의 형태인지를 먼저 알아야 한다.
이를 위해서, 우리가 가지고 있는 정보
Boundary condition을 분석해보자.

defintion of Stream function
먼저, r=a (구 고체 표면)에서
1. no slip boundary condition
u_r = 0 -> d Ψ/d θ = 0
u_ θ = 0 -> d Ψdr = 0
2. r -> ∞ Free stream velocity(U)
r이 무한으로 커 고체면에서 멀어지면, 점성효과는 0 이므로,
Free stream velocity가 유체의 속도를 결정할 것이다.
따라서, r, theat 방향 속도는 다음과 같다.

Spherical Coordinate
이 속도를
위 definition of stream function에
대입해주고, 적분을 통해서
r -> ∞일때, stream function을 유도할 수 있다.

이를 근거로, Stream function을 다음과 같은 형태로
가정한 후,
우리가 알고 있는 식
에 대입해주자.


알고 있는 식.

정리하고 가면,

최종적으로 우리가 알고 싶은 것은,
속도장이다. 즉,
Ψ함수를 구성하는 f(r)을 찾는 것이 목표이다.
이를 위해서 알고 있는 식 12번에 가정한
Ψ = f(r) sin^2 θ 를 대입해주자.

이후, 한번더 D^2을 해주자.

쭉쭉 정리해주자.

최종적으로 4차 ODE가 나오게 된다.
여기서 f(r) 을 가정해준후,

정리해주면,
기가 막히게 m = 1,2,4,-1이 나온다.

따라서, general solution f(r) 은 다음과 같고,
이에 따라서
Ψ : Stream function도 구할 수 있다.

여기서 아까 r 이 무한일때 Boundary condition을 대입해주면,

그리고, No slip boundary conditio을 통해서,
남은 계수들도 얻을 수 있다.

a,b 연립해주자.

최종 계수까지 장착한 Stream function의 general solution

한발짝만 . 더가보자.
Stream function을 알기 때문에,
진짜로 우리가 구하고 싶은 속도장을 구할 . 수 있다.

definition of Stream function

최종 속도장.

굉장히 길고 긴 증명이었습니다.
정리해보면,
구의 주변을 흐르는 Stokes flow의 속도장을 구하기 위해서,
Spherical coordinate에서 Stokes flow Navier stokes equation을 풀기위
Stream function으로 속도를 전환한후,
Stream function을 복잡한 과정을 거쳐 구하였습니다.
이후, 속도장을 정의에 따라 구했고,
다음시간에 이 속도를 가지고,
압력, 구에 작용하는 힘,을 유도해 보겠습니다
감사합니다.