이전 포스터 부터,
우리는 boundary layer에 대해서 수학적으로 분석하고 있다.
boundary layer thickness가 굉장히 얇다는 가정
-> Order of Magniutde를 활용하여
다음의 Boundary layer Equation을 이전 포스터에서 증명하였다.

Boundary layer Equation w/ too small boundary layer thickness.
이번 시간에는, Flat plate geometry에서

유체가 x방향으로
constant
하게 흐르는 경우를 살펴보자.

이때, boundary layer equation에서
dU/dx = 0 으로 소거가 된다.

그리고 Boundary condition은 다음과 같다.

여기서 Ch4 에서 사용하였던,
Similarity Solution개념을 사용하자.

similiarity solution이란?

No length time scale 인 상황에서,
가지고 있는 independent variable를 조합
-> 새로운 dimensionless variable 만들고,
가지고 있는 방정식의
variable 수를 줄이는 방식.
(쉽게 말해, 우리가 풀고자하는 공학문제의
변수의 갯수를 무차원화 시켜 축소시키는 것이다.)

결국, u는
u = g(U, y, x)에 관한 함수인데,
여기서 우리가 관심있는,
x ->
δ(x)
로 바꿔준후,
dimensionless 작업을 해주어,
η(에타, 새롭게 정의한무차원수)에
관한 함수로 나타내자.

ξ(x) = δ(x) , boundary layer thickness.
이후, u를 y로 적분 해주어,
( u = dψ/dy , ψ(x=0) = 0 )
stream function (ψ)
을 나타내면,

ξ(x) = δ(x) , boundary layer thickness.
이후는, 사실상 저 similarity solution을 아까 정리한,
flat plate boundary layer Eq에 대입하는
'수식파티' 이다.

Boundary layer Eq.

수식파티 하기전에, 
이번 블로그에서 가장 핵심적인 질문은
어떻게 Blasius 라는 사람은 저렇게 치환을 할 생각을 했을까?
그리고 저 치환이 의미가 있는 이유가 뭘까?
이다.
밑은 위 질문의 답을 내고자,
similairty solution에서 무차원수를 치환하는 방법을 교재에서 찾은 내용이다.

완벽하게 이해하지는 못했지만,
정리한 바로는
시간과 공간은 각각 independent variable,
공간에서도 각 기저 x,y,는 independent variable이다.
각각은 독립적이지만,
x를 통해 -> y방향으로의 길이 즉
δ(x)를 정의하고,
y/
δ(x) 로 나누어 주어(같은 기저의 길이변수이므로)
무차원화 시킬 수 있다.
하지만 이러한 작업은
특정 length scale이 존재하지 않을때만,
가능하다.
이유는 단순하다,
굳이 x를 사용해서 y를 무차원화 시키지 않고,
이미 가지고 있는 length scale로 무차원화 시키므로,
indendent variable 수가 감소하지 않는다.
예를들어, 두개의 flat plat 사이를 유체가 흐르는 경우,
두 flat plate사이의 거리 라는 특정한 length(d) 가 있을 것이다.
이때, y/d 이런식으로
혹은 unsteady인 상황에서라면,
y/Ut 이런식으로 무차원화 시킬 수 있다.

이제 수식파티를 진행하자.
본업으로 복귀.
6번식에 대입하기전에, u,v 그리고 미분항들을
미리 작성해놓자.



u,v 유도

u 미분 term.
이제 6번식에 대입해주자.

이후, 정리한 후 여기서 무차원 방정식의 계수는 비례해야한다.
(단위 맞추기 위해)




BC을 적용시키고, C는 사실상 위 식을 만족하기만 하면 되기 때문에.




이를 Similairty variable에 대입해주자.

그리고 아까 까지 유도하였던, f에 관한 ODE에 대입.

이제 3차 non linear ODE를 computational method로 풀게되면,
최종적으로, 밑의
η와 u/U의 그래프가 도출된다.

여기서 우리가 알고 싶은 것은,
boundary layer thickness(delta)이다.
boundary layer thickness의 정의에 따라,
u = U 가 되는 순간에서의 높이 y값이
바로 boundary layer thickness이지만,
위 그래프 solution을 보면 y 가 무한일때 성립하므로,
u = 0.99U일때 y = 4.92(from graph)를
boundary layer thickness라고 정의하자.

드디어, boundary layer thickness - x와의 관계식을
구했고, 이를 Blasisus solution이라고 한다.

이전 포스터에서
displacement thickness, momentum thickness 식에 대해서 배웠었고,
우리는 blasius solution을 가지고 각각 유도할 수 있다.
뿐만아니라
Momentum thickness -> Shear stress ( Integral relation)
shear stress -> Skin friction coefficient(Cf)
Skin friction coefficeint(Cf) -> Drag coefficient (Cd)
Cd -> D(Drag force)
까지 유도할 수 있다.